初一数学试卷模拟题——下册人教版

第一部分 选择题

选择题是数学考试中比较基础也较为容易的一部分，但是选项之间的差别也需要我们认真分析。

1.1 例题

如图所示，在平面直角坐标系中，$O$ 是坐标原点，$A(-5,5)$，$B(5,5)$，$C(5,-5)$，$D(-5,-5)$，则四边形 $ABCD$ 的形状是（　　） A. 长方形　　　B. 正方形　　　C. 平行四边形　　　D. 梯形 此题考查学生对平面直角坐标系中图形性质的理解。容易发现，四个顶点坐标的纵坐标相同，即 $AB$ 和 $CD$ 是平行的，同时，$ABCD$ 的对角线相等，故形状为正方形，答案选 B。

1.2 经典题型

例如，选择题中可能会出现两个正确选项的情况，此时需要我们进行研究和分析。下面就是一道经典的这种题型： 本题的两个选项分别为 A 和 D，对于这种情况，我们需要利用公式和条件彻底排除错误答案。由题意可知，$a^2+b^2=4$，$c^2+d^2=9$，又因为 $ad-bc\ eq 0$，所以 $cba\ eq 0$，可以等式两边同时乘 $cba$ 得到： $a^2c^3+b^2d^3 = 6cba$，同理，等式两边同时乘 $abdc$ 得到：$a^3d^2+b^3c^2=12abdc$。 答案选 D.

第二部分 填空题

填空题是数学考试中相对难度较大的一部分，通常需要我们掌握基础公式并能熟练应用，下面介绍一些常见的填空题。

2.1 解法技巧

例如，对于这样的长方体表面积和体积的填空题，我们可以通过画图计算长方体各面的面积和体积来得到答案。具体可参考下面这道例题： 一张矩形房间的长是 $4$ 米，宽是 $3$ 米，房顶斜率是 $60^\\circ$ ，则该房间的房顶面积为 $\\underline{\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;}$ 平方米． 由题意可知，房顶斜率是 $60^\\circ$，则房顶的一条边长为 $\\frac{4}{2}=2$ 米，所以房顶的面积为 $\\frac{1}{2}\imes2\imes3\\sqrt{3}$，答案填 $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}$。

2.2 难点突破

对于一些填空题，难点会集中在数据处理上，例如下面这道例题： 若 $x$ 为实数，且 $\\sin x+\\cos x=\\frac{\\sqrt{2}(2\\sin x\\sin \\alpha-\\cos x)}{2\\cos \\alpha -1}$，则 $\an^2 x =$ $\\underline{\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;}$。 一个明显的思路是利用 $\\sin ^2x+\\cos ^2x=1$，但这并不能帮助我们取得太大的进展。再仔细观察题目，我们不难发现，分母的 $2\\cos\\alpha -1$ 很难消掉，同时分式中的 $\\sin x\\sin \\alpha$ 是一个比较特殊的形式，仔细观察可得到 $\\sin x\\cos \\alpha +\\cos x\\sin \\alpha =\\frac{1}{\\sqrt{2}}$，代入原式可得： $$\\sin x+\\cos x=\\frac{2\\left(\\sin x\\cos \\alpha+ \\cos x\\sin\\alpha\\right)}{2\\cos\\alpha-1}$$ 化简得：$2\\sin x\\cos\\alpha+2\\cos x\\sin\\alpha=2\\sin x+\\cos x\\sin\\alpha-\\sin x cos\\alpha$。移项得： $$(\\sin x\\sin\\alpha+\\cos x\\cos\\alpha)^2=\\cos^2\\alpha+\\sin^2\\alpha=1$$ 即：$\\sin^2x+\\cos^2x-2\\sin x\\cos x\\sin\\alpha\\cos\\alpha=1$。 因为 $\\sin x+\\cos x=\\frac{\\sqrt{2}(\\sin x\\sin\\alpha- \\cos x)}{2\\cos\\alpha-1}$，所以： $$\\sin^2x+\\cos^2x+\\frac{2\\sqrt{2}\\sin x\\cos x\\sin\\alpha}{2\\cos\\alpha-1}=\\frac{2(\\cos^2x-\\sin^2x)\\sin\\alpha}{2\\cos\\alpha-1}$$ 化简并带入 $\\cos^2x-\\sin^2x=\\cos 2x$： $$\\frac{1-\\sin x\\cos x\\sin\\alpha}{2\\cos\\alpha-1}=\\frac{\\cos2x\\sin\\alpha}{2\\cos\\alpha-1}$$ 即：$\an^2x=\\frac{1-\\sin x\\cos x\\sin\\alpha}{\\cos^2x\\sin^2\\alpha}$。代入 $\\sin x\\cos\\alpha+\\cos x\\sin\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$ 和 $\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1$ 可得： $$\an^2x=\\frac{1-\\frac{1}{2}\\sin2x}{\\frac{1}{2}\\cos^22\\alpha}$$ 因为 $\\cos^22\\alpha=\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}\\cos4\\alpha$，所以： $$\an^2x=\\frac{2-\\cos2x}{1+\\cos4\\alpha}$$ 答案填 $\\frac{2-\\cos2x}{1+\\cos4\\alpha}$。

第三部分 解答题

解答题是数学考试中相对难度最大的一部分，通常需要我们运用基础知识，并运用其他思考方式。

3.1 模型转化

例如，下面这道多元一次方程组解法题： 若 $2x+y=z$，$x+y=6$，$yz=14$，则 $y=$ $\\underline{\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;}$。 对于这样的题目，我们可以将其转化为一元二次方程组，进而解出未知数的值。将 $y=6-x$ 代入第一个方程式中得：$2x+(6-x)=z$，即 $x+z=6$，所以 $xz=7$，解得 $x=1,y=5,z=5$。答案填 $5$。

3.2 推理能力

例如，下面这道带图解析的解答题： 如图所示，$ABCD$ 是一个正立方体，以 $AB$ 为底面，点 $F$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 与 $F$ 均在棱 $BF$ 上，$EF\\perp BF$。若 $AF=3$，$BF=4$，求 $DF$ 的长度。 由题意可知，$AF=3$，所以 $AD=3\\sqrt{2}$。又因为 $BF=4$，所以 $BE=3$，于是 $EF=1$，$\riangle FED$ 和 $\riangle BCE$ 相似，所以 $\\frac{FD}{DE}=\\frac{CB}{BE}$，即 $\\frac{DF}{1}=\\frac{4\\sqrt{2}}{3}$，解得 $DF=\\frac{4\\sqrt{2}}{3}$。答案填写 $\\frac{4\\sqrt{2}}{3}$。