探究协方差矩阵的特征值

协方差矩阵是什么

协方差矩阵是描述二维及以上随机向量相关性的数学工具，由多个随机变量的协方差构成的方阵。假设我们有两个随机变量X和Y，它们的协方差定义为： Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]，其中E[]代表期望。那么我们可以将X和Y的协方差以及它们各自的方差排列在一个矩阵中，这就是协方差矩阵： $$\\begin{bmatrix}Var(X) & Cov(X,Y)\\\\Cov(Y,X) & Var(Y)\\end{bmatrix}$$ 当然，对于随机向量$X_1,X_2,\\dots,X_p$，它们所组成的协方差矩阵是$p\imes p$的矩阵，每个元素都是它所对应的两个变量之间的协方差。需要注意的一点是，协方差矩阵的特征值和特征向量不仅仅在统计学领域有用，还广泛应用于机器学习、信号处理以及物理领域等。

特征值在协方差矩阵中的应用

在协方差矩阵中，特征值和特征向量的应用是多样的。我们将从三个方面来具体探究它们的应用。

诊断多元正态分布的形态

多元正态分布（multivariate normal distribution）是指满足以下几个条件的随机向量：（1）每一个分量都服从正态分布；（2）两个分量之间具有线性相关性；（3）该向量的分布和协方差矩阵唯一确定。对于一个二维的多元正态分布，我们可以通过协方差矩阵的特征值判断它的形态，如下图所示： ![多元正态分布的形态](https://i.imgur.com/1BZLo92.png) 如果特征值$\\lambda_1>\\lambda_2$，则表示数据集沿着特征向量$u_1$的方向较为散布，沿着$u_2$的方向较为紧密，样本点呈现一种“长条形”的结构；反之，如果$\\lambda_1<\\lambda_2$，则表示数据集沿着$u_2$方向较为散布，沿着$u_1$的方向较为紧密，数据点呈现“短条形”的状态；当两个特征值的大小相近时，数据点呈现一种圆形或者类圆形的状态。这种方法在数据可视化和异常检测上有着广泛的应用。

PCA降维

主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的线性降维方法，它的本质是将高维空间的数据集映射到低维子空间。PCA的原理是：将一组随机变量转换为一组不相关的变量，然后按照变量的重要性排序，将重要性比较低的变量去除，从而得到一个更加精简的新数据集。其中特征向量与特征值的关系是：如果往该特征向量上方向观察，则特征值就是这个向量代表的主成分的信息大小。PCA的步骤如下：（1）对数据进行中心化和标准化。（2）计算协方差矩阵。（3）计算协方差矩阵的特征向量和特征值。（4）按照特征值大小对特征向量排序。（5）选取前$k$个较大的特征值所对应的特征向量，组成一个新的矩阵$U$。（6）将原始数据集$X$与矩阵$U$相乘，得到新的数据集$Y$。

判断协方差矩阵的正定性

在数学里面，正定矩阵满足以下三个条件：（1）矩阵的所有特征值都为正数；（2）所有顺序主子式均为正数；（3）矩阵的行列式（即特征值之积）大于0。对于一个$n\imes n$的协方差矩阵$C$，它是半正定矩阵当且仅当它所有的特征值都非负；而它是正定矩阵，当且仅当它所有特征值都为正。因此，判断协方差矩阵的正定性就是判断其特征值是否全部为正数。