电场高斯定理证明

高斯定理简介

电场高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电荷在电场中的分布情况，通过对电场表面积分求得通过表面的总电荷量。在物理学中，高斯定理也被应用于电场、磁场、重力场等相关领域。高斯定理通过将空间场的边界分解成一些小面元，对每个面元施加面积分，将这些面积分加和，得到了求解场的值的一种方法。

电场高斯定理的原理

在研究电场高斯定理之前，我们先来了解一下电场强度的定义：电场强度表示在某点上单位正电荷所受力的大小和方向关系，是一个矢量量纲。电场强度可以用公式$E = F/q$ 表示，其中F是电荷受力的大小，q是电荷的电量。 电场高斯定理指出，当空间内没有任何电荷时，电场强度与通过任何一个封闭的表面$\\Sigma$的电通量成正比。公式表示为： $$\\Phi=\\oint_{\\Sigma} \\vec E \\cdot d\\vec S = \\frac{Q_{in}}{\\epsilon_0}$$ 其中$\\Phi$是通过表面$\\Sigma$的总电通量；$Q_{in}$是通过表面$\\Sigma$的电荷总量；$\\epsilon_0$是真空介电常数。

电场高斯定理证明过程

为了证明高斯定理，我们使用高斯散度定理（或称量纲定理）：对于一个向外凸的封闭曲面$\\Sigma$，如图所示，曲面被分成很多小的立方体。则同样由于向外凸的性质，我们可以画一条处于一个小立方体中心的正方形（下文简称“圈”），从而形成一个内接于这个小立方体、外接于这一圈的球。假设球的半径为$r$，球面积为$S$。  将一个边长为$\\Delta x$的小立方体划分成6个面，求出每个面的表面积$S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6$，通过应用高斯散度定理，可以得到： $$ \\int \\int \\int_V (\\vec{\riangledown} \\cdot \\vec E) dV = \\lim_{\\Delta V \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^n(\\vec{\riangledown} \\cdot \\vec E)_i \\Delta V =\\lim_{\\Delta V \\rightarrow 0}\\sum_{i=1}^n(\\oint_{\\Sigma}\\vec E \\cdot d\\vec S)_i$$ 将求和式展开，可以得到： $$\\lim_{V \\rightarrow 0}\\frac{1}{\\Delta V} \\{( \\int_{S_1}\\vec E_1 \\cdot d\\vec S-\\int_{S_2}\\vec E_2 \\cdot d\\vec S) +(\\int_{S_3}\\vec E_3 \\cdot d\\vec S-\\int_{S_4}\\vec E_4 \\cdot d\\vec S) +(\\int_{S_5}\\vec E_5 \\cdot d\\vec S-\\int_{S_6}\\vec E_6 \\cdot d\\vec S)\\}$$ 其中，$S_1$和$S_2$表示这个小立方体的两个平行面，它们与平面$yz$、$xz$相交；$S_3$和$S_4$表示这个小立方体的两个平行面，它们与平面$xy$、$xz$相交；$S_5$和$S_6$表示这个小立方体的两个平行面，它们与平面$xy$、$yz$相交。又因为曲面$\\Sigma$把这个小立方体完全包围，即 $\\Delta V = V$，所以上式可改写为： $$ \\vec{\riangledown} \\cdot \\vec E = \\lim_{V \\rightarrow 0} \\frac{\\oint_{\\Sigma}\\vec E \\cdot d\\vec S}{V} $$ 因为曲面$\\Sigma$包含在球内，所以$\\oint_{\\Sigma}\\vec E \\cdot d\\vec S= \\int_S\\vec E \\cdot d\\vec S$。又因为$\\vec E$与法向量在同一方向上，所以$\\vec E \\cdot d\\vec S = EdS = E2\\pi r^2$，其中向外的圆面积$S=2\\pi r^2$。所以，可以得到： $$ \\oint_{\\Sigma}\\vec E \\cdot d\\vec S = \\varoiint_S EdS = ES = E4\\pi r^2 $$ 因此，将这个结果带入上面的公式中，得到： $$ \\frac{\\oint_{\\Sigma}\\vec E \\cdot d\\vec S}{V} = \\frac{E4\\pi r^2}{\\frac{4}{3}\\pi r^3} = \\frac{Q}{\\epsilon_0} $$ 其中，$Q = \\rho V$。因此，我们就证明了电场高斯定理。

总结

通过上述推导，我们证明了电场高斯定理的正确性。高斯定理通过对空间场的边界进行分解，并对每个小的面元进行积分求和，得到了求场的值的一种方法。电场高斯定理在电学、物理学等领域被广泛应用，有助于解决各种场问题，对于研究电场、磁场、重力场等也有重要的理论意义。