函数的实部和虚部都是调和函数的解析

前言

在数学分析的基础课程中，我们时常遇到一些调和函数的问题，而在实际问题的运用中，我们也会遇到一些实部和虚部都是调和函数的函数形式，本篇文章将从实部和虚部都是调和函数的角度来分析这类问题。

什么是调和函数？

调和函数通常是指满足Laplace方程的实函数或复函数，即对于函数$u(x,y)$或$u(z)$，满足以下方程： $$\\Delta u=0$$ 其中$\\Delta$是拉普拉斯算子。当$u$为实函数时，上述方程也可以写成: $$\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$$ 调和函数可以看成是没有源和汇的流动场，它们的数学性质也与这种流动场相关。调和函数在众多领域，如物理、工程、数学等领域中都有着广泛的应用。

实部和虚部都是调和函数的问题

在复分析中，我们经常遇到实部和虚部都是调和函数的复函数： $$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$ 其中，$u$和$v$都是调和函数。我们可以将$f(z)$看做平面上的向量场的数量表示，它可以表示为: $$f(z)=|f(z)|e^{i\heta}$$ 其中，$|f(z)|$和$\heta$分别是$f(z)$的模和幅角。当$f(z)$对应的向量场是无旋场时，$f(z)$是解析函数，此时有实部和虚部分离析公式: $$u(x,y)=\\frac{1}{2}\\left(f(z)+\\overline{f(z)}\\right)$$ $$v(x,y)=\\frac{1}{2i}\\left(f(z)-\\overline{f(z)}\\right)$$ 其中$\\overline{f(z)}$是$f(z)$的共轭。 那么，当$f(z)$的幅角$\heta$在平面上不断变化时，$f(z)$对应的向量场是否一定是无旋场呢？答案是肯定的。实际上，在复分析中，我们常常将解析函数$f(z)$看作一个复向量场，它的数量表示是$\\left(u(x,y),v(x,y)\\right)$，因此它一定是无旋场。接下来的问题是，如何证明实部和虚部都是调和函数的$f(z)$对应的向量场是无旋场呢？

证明

我们有以下定理： 定理：设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是一个解析函数，则它的实部和虚部都是调和函数，且相应的向量场$\\left(u(x,y),v(x,y)\\right)$是无旋场。 证明：首先，我们注意到一个恒等式： $$\\frac{\\partial^2f}{\\partial z\\partial\\overline{z}}=0$$ 这个恒等式可以通过直接计算得到。不难发现，这个恒等式实际上就是Laplace方程的复数形式。 接下来，我们分别对$f$的实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$使用Laplace算子： $$\\Delta u=\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=-\\frac{\\partial^2v}{\\partial x\\partial y}+\\frac{\\partial^2v}{\\partial y^2}$$ $$\\Delta v=\\frac{\\partial^2v}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2v}{\\partial y^2}=\\frac{\\partial^2u}{\\partial x\\partial y}-\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}$$ 我们注意到两个式子都可以写成$\\frac{\\partial^2f}{\\partial z\\partial\\overline{z}}$的某个线性组合形式。将此线性组合代入上述恒等式中，则有: $$\\frac{\\partial^2}{\\partial x^2}\\left[\\frac{1}{2}\\left(f+\\overline{f}\\right)\\right]+\\frac{\\partial^2}{\\partial y^2}\\left[\\frac{1}{2}\\left(f+\\overline{f}\\right)\\right]=0$$ $$\\frac{\\partial^2}{\\partial x^2}\\left[\\frac{1}{2i}\\left(f-\\overline{f}\\right)\\right]+\\frac{\\partial^2}{\\partial y^2}\\left[\\frac{1}{2i}\\left(f-\\overline{f}\\right)\\right]=0$$ 因此，$u$和$v$分别满足Laplace方程，即都是调和函数。又因为$\\frac{\\partial v}{\\partial x}=\\frac{\\partial u}{\\partial y}$和$\\frac{\\partial v}{\\partial y}=-\\frac{\\partial u}{\\partial x}$，因此向量场$\\left(u(x,y),v(x,y)\\right)$是无旋场。证毕。

总结

在复分析中，我们经常遇到实部和虚部都是调和函数的函数形式，它们可以看成平面上的无旋场的数量表示。本篇文章主要分析了这类问题，证明了实部和虚部都是调和函数的函数对应的向量场是无旋场的定理。这个对于复函数和无旋场的联系有着重要的意义，也为我们更好地理解和应用复分析学提供了便利。