高等数学导数积分公式大全

导数公式

一阶导数公式:

• 常数函数 $f(x) = C$ 的导数为 $f'(x) = 0$
• 幂函数 $f(x) = x^n$ 的导数为 $f'(x) = nx^{n-1}$
• 指数函数 $f(x) = a^x$ 的导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$
• 对数函数 $f(x) = \\log_a x$ 的导数为 $f'(x) = \\frac{1}{x \\ln a}$
• 三角函数 $f(x) = \\sin x$ 的导数为 $f'(x) = \\cos x$
• 反三角函数 $f(x) = \\arcsin x$ 的导数为 $f'(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$

二阶导数公式:

• 若 $f''(x) > 0$，则函数 $y = f(x)$ 在 $x$ 处取得极小值，若 $f''(x) < 0$，则函数 $y = f(x)$ 在 $x$ 处取得极大值
• 若 $f''(x) = 0$，则 $x$ 为函数 $y = f(x)$ 的拐点

积分公式

不定积分公式：

• 幂函数积分 $\\int x^n dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
• 指数函数积分 $\\int e^x dx = e^x + C$
• 对数函数积分 $\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln |x| + C$
• 三角函数积分 $\\int \\sin x dx = -\\cos x + C, \\int \\cos x dx = \\sin x + C$
• 反三角函数积分 $\\int \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}} dx = \\arcsin x + C$

定积分公式：

• 中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $c \\in [a,b]$，使得 $\\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a)$
• 牛顿-莱布尼兹公式：若 $F'(x) = f(x)$，则 $\\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$
• 换元积分法：设 $u = g(x)$，则 $\\int f(g(x))g'(x)dx = \\int f(u)du$
• 分部积分法：$\\int u dv = uv - \\int v du$

常用公式

微积分方程:

• 微分方程：含有$y$及其导数$\\frac{dy}{dx}$的等式，形如$f(x,y,\\frac{dy}{dx})=0$
• 不定积分：$F(x)$在$(a,b)$区间上的原函数是指$F'(x)=f(x)$，其中$f(x)$在$(a,b)$区间是连续的由$f(x)$的不定积分可得到$F(x)+C$

微分方程：

• 一阶线性微分方程：$\\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$
• 一阶齐次微分方程：$\\frac{dy}{dx}+P(x)y = 0$
• 一阶非齐次微分方程：$\\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$
• 二阶齐次线性微分方程：$y''+py'+qy=0$
• 二阶非齐次线性微分方程：$y''+py'+qy=f(x)$

泰勒级数:

• 泰勒级数：
• 常见泰勒级数展开式：
  • $e^x = \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{x^n}{n!}$
  • $\\sin x = \\sum_{n=0}^\\infty (-1)^n \\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
  • $\\cos x = \\sum_{n=0}^\\infty (-1)^n \\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

黎曼和:

• 黎曼和：若$f(x)$在$[a,b]$上非负连续，$a=x_0
• 黎曼积分：设$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，若当$\\lambda\\rightarrow0$时，和$\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_i)\\Delta x_i$的极限存在，且与$\\lambda$的选取无关，则称该极限为$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作 即将$[a,b]$上的分块$n$，分成大小为$\\Delta x_i$的块，$f(\\xi_i)$与该块的积所组成求和并求出极限，即为$f(x)$在$[a,b]$上的定积分。

常用不等式:

• 柯西-施瓦茨不等式：$\\left(\\sum\\limits_{i=1}^{n}a_i^2\\right)\\left(\\sum\\limits_{i=1}^{n}b_i^2\\right) \\ge \\left(\\sum\\limits_{i=1}^{n}a_ib_i\\right)^2$，其中 $a_i, b_i$ 是任意实数。
• 三角函数不等式：对于任意角 $\heta$，有 $|\\sin \heta| \\leq 1$ 和 $|\\cos \heta| \\leq 1$。
• 均值不等式：对于非负实数 $a_1, a_2, \\cdots , a_n$，有 $\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n} \\geq \\sqrt[n]{a_1 a_2 \\cdots a_n}$。

以上为高等数学导数积分公式大全，内容详尽，常用公式不容错过。希望这篇文章能为您的学习生活带来帮助。