深入理解Borel-Cantelli引理
引言
Borel-Cantelli引理是概率论中的一个重要定理，常常用于证明随机事件的一些性质。该定理的原始形式由法国数学家Emile Borel和意大利数学家Francesco Cantelli分别于 1909 年和 1910 年给出。本文将对Borel-Cantelli引理进行详细的讲解和证明。正文
定理表述
Borel-Cantelli引理的一般形式如下： 设 $A_1,A_2,\\cdots$ 是一系列独立事件，$P(A_n) > 0$，则有： $$ \\sum_n P(A_n) < \\infty \\Rightarrow P(\\limsup_{n\o\\infty} A_n) = 0 $$ 其中 $\\limsup_{n\o\\infty} A_n = \\bigcap_{n\\geq 1}\\bigcup_{m\\geq n} A_m$ 表示事件序列 $A_1,A_2,\\cdots$ 的上极限。证明思路
证明 Borel-Cantelli 引理，需要用到黎曼-勒贝格引理（Riemann-Lebesgue Lemma）和Borel-Cantelli引理的第一个版本，即： 设 $A_1,A_2,\\cdots$ 是一系列独立事件，$P(A_n) > 0$，则有： $$ \\sum_n P(A_n) = \\infty \\Rightarrow P(\\limsup_{n\o\\infty} A_n) = 1 $$ 下面我们先来证明 Borel-Cantelli 引理第一个版本。证明过程
设 $B_k = \\bigcup_{n\\geq k} A_n$，显然有 $B_1 \\supset B_2 \\supset \\cdots$。于是有： $$ \\begin{aligned} P(\\limsup_{n\o\\infty} A_n) &= P(\\bigcap_{n\\geq 1}\\bigcup_{m\\geq n} A_m) \\\\ &= P(\\bigcap_{n\\geq 1} B_n) \\\\ &\\geq P(B_k) \\quad \ext{（by monotonicity）}\\\\ &= P(\\bigcup_{n\\geq k} A_n) \\\\ &\\geq \\sum_{n\\geq k} P(A_n) \\quad \ext{（by inclusion-exclusion）}\\\\ \\end{aligned} $$ 根据假设 $\\sum_n P(A_n) = \\infty$，所以对于任意 $k$，都有 $\\sum_{n\\geq k} P(A_n) = \\infty$。于是: $$ \\begin{aligned} P(\\limsup_{n\o\\infty} A_n) &\\geq \\sum_{n\\geq k} P(A_n) \o \\infty \\\\ \\end{aligned} $$ 因此，$P(\\limsup_{n\o\\infty} A_n) = 1$。 Borel-Cantelli 引理第二个版本可以通过使用黎曼-勒贝格引理来证明。在此略去，具体证明可以参考文献 [1]。结论
本文详细讲解了 Borel-Cantelli 引理的定义、证明思路和证明过程，熟悉这个定理的证明方法对于深入理解概率论知识和应用都非常重要。参考文献
[1] 朱健民. 概率论与数理统计[M]. 浙江大学出版社, 2005.版权声明：《borelcantelli引理证明（深入理解Borel-Cantelli引理）》文章主要来源于网络，不代表本网站立场，不承担相关法律责任，如涉及版权问题，请发送邮件至3237157959@qq.com举报，我们会在第一时间进行处理。本文文章链接：http://www.bxwic.com/zhhxx/519.html
