中考数学100题精选及答案
一. 知识点：数与代数
1. 求 $2x-3=7$ 的解：
解：移项得 $2x=10$，所以 $x=5$，答案为 $\\boxed{5}$。
2. 如果 $a,b$ 都是奇数，则 $a+b$ 的奇偶性为：
解：奇数加奇数仍为偶数，所以 $a+b$ 的奇偶性为 $\\boxed{\ext{偶数}}$。
3. 若 $x=-2$，则 $\\sqrt{2x^2+5}$ 的值为：
解：代入 $x=-2$ 得 $\\sqrt{2x^2+5}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$。所以答案为 $\\boxed{3\\sqrt{2}}$。
二. 知识点：几何图形
4. 已知 $\riangle ABC$ 的三个内角分别为 $60^\\circ$，$70^\\circ$，$50^\\circ$，则 $\riangle ABC$ 的面积为：
解：根据正弦定理得：
$$\\frac{a}{\\sin 60^\\circ}=\\frac{b}{\\sin 70^\\circ}=\\frac{c}{\\sin 50^\\circ}$$解得 $a:b:c=\\sin 60^\\circ:\\sin 70^\\circ:\\sin 50^\\circ=1:1.175:0.766$。
又由海伦公式可得：
$$S=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$其中 $p=\\dfrac{a+b+c}{2}$。
带入数据可得 $S\\approx\\boxed{21.54}$。
5. 已知平行四边形 $ABCD$，$E$ 是 $BC$ 的中点，$F$ 是 $AD$ 的中点，$AC$ 交 $BF$ 在点 $G$，则 $\riangle AEG$ 和 $\riangle CEG$ 的面积比为：
解：由平行四边形的性质可得 $AE=CG$。
又因为 $AE = \\dfrac12 BC$，$FE$ 平分 $BC$，所以 $\riangle AEF$ 与 $\riangle CEF$ 面积相等。
因此 $\riangle AEG$ 和 $\riangle CEG$ 的面积比为 $\\dfrac{\riangle AEG}{\riangle AEF}:\\dfrac{\riangle CEG}{\riangle CEF}=1:1$。
故答案为 $\\boxed{1:1}$。
6. 正方体 $ABCDEFGH$ 的棱长为 $a$，点 $P$ 在 $AD$ 上，且 $AP:PD=3:2$，则 $\riangle BPC$ 和 $\riangle EPF$ 的面积比为：
解：使用解析几何方法，设 $A$ 点坐标为 $(0,0,0)$，则 $B$ 点坐标为 $(0,a,0)$，$P$ 点坐标为 $(0,0,2a)$。
则直线 $BP$ 的解析式为：
$$x=0,y=\\frac{5a}{3}-\\frac{5a}{3}t,z=2a-2at$$而 $\riangle BPC$ 的底边 $BC$ 长为 $\\sqrt{2}a$，所以 $\riangle BPC$ 面积为：
$$S_{\riangle BPC}=\\frac12 \\sqrt{2}a \\cdot \\frac{2a}{3} \\cdot \\sin \\angle CPB=\\frac{\\sqrt{2}}{3} a^2 \\sin \\angle CPB$$同理，$\riangle EPF$ 的底边 $EF$ 长为 $\\sqrt{2}a$，$\riangle EPF$ 的高为 $\\dfrac{2a}{5}$，所以 $\riangle EPF$ 面积为：
$$S_{\riangle EPF}=\\frac12 \\sqrt{2}a \\cdot \\frac{2a}{5}=\\frac{2\\sqrt{2}}{5}a^2$$最后计算 $\\sin \\angle CPB$，由向量的内积公式可得：
$$\\vec{CP}\\cdot\\vec{CB}=|\\vec{CP}|\\cdot|\\vec{CB}|\\cdot\\cos\\angle CPB$$所以 $\\cos\\angle CPB=\\dfrac{\\vec{CP}\\cdot\\vec{CB}}{|\\vec{CP}|\\cdot|\\vec{CB}|}=\\dfrac{10}{11}$。
因此 $\\sin \\angle CPB=\\sqrt{1-\\cos^2\\angle CPB}=\\dfrac35$。
故 $\riangle BPC$ 和 $\riangle EPF$ 的面积比为：
$$\\frac{S_{\riangle BPC}}{S_{\riangle EPF}}=\\frac{\\frac{\\sqrt{2}}{3} a^2 \\sin \\angle CPB}{\\frac{2\\sqrt{2}}{5}a^2}=\\boxed{\\frac{5}{6}}$$三. 知识点：概率统计
7. 有 30 个苹果，4 个坏掉了。从中任取一个苹果，这个苹果坏的概率是：
解：所求概率为“取出一个坏苹果的概率”，根据“全概率公式”可得：
$$P=\\frac{4}{30}=\\boxed{\\frac{2}{15}}$$8. 乘法原理指：
解：乘法原理指：如果一个事件发生有 $n_1$ 种方案，另一个事件发生有 $n_2$ 种方案，那么这两个事件同时发生有 $n_1 \imes n_2$ 种方案。
故答案为：两个事件同时发生及按某一条件发生均可使用乘法原理。
9. 下列哪组指标不属于统计指标：
解：指标包含分类指标和统计指标两类，分类指标是指事物的分类特征，如性别、职业等。统计指标是指用于构造统计表和统计图的数据特征，如频数、平均数等。
因此，答案为 $\\boxed{\ext{性别、职业}}$。
