中职数学教案：等比数列

引入

等比数列是数学中常见的一种数列，它具有重要的应用价值，我们应该认真学习和掌握。下面我们将通过引入、教学过程和练习三个环节来详细介绍等比数列的相关知识和技巧。

教学过程

等比数列是一种数列，其中每一项都等于前一项与公比的乘积。即：$$a_n=a_{n-1}q$$ 其中，$a_n$表示数列的第n项，$q$表示公比。因此，可以得出等比数列通项公式：$$a_n=a_1q^{n-1}$$ 接下来，我们来看一下等比数列的求和公式。假设等比数列前$n$项和为$S_n$，那么：$$S_n=a_1\\frac{q^n-1}{q-1}$$ 此外，还可以用$S_n-qS_{n-1}=a_n$和$qS_n=S_{n+1}$等式来求解等比数列的和。在讲解完理论知识后，我们需要通过一些实例来巩固和应用所学知识。例如，给定等比数列的前两项为$2$和$10$，求前$n$项和。解：设等比数列的通项公式为$a_n=2q^{n-1}$，且$a_2=10$，则有：$$2q=10$$ 因此，$q=5$，所以等比数列的通项公式为$a_n=2\imes5^{n-1}$，于是前$n$项和为：$$S_n=2\imes\\frac{5^n-1}{5-1}=5^n-1$$

练习

为了让同学们更好地掌握等比数列的求解方法，我们设置了以下练习题： 1.已知等比数列的第一项为$3$，公比为$2$，则该数列的第$n$项为多少？ 2.已知等比数列的前两项分别为$5$和$30$，求该数列的前$n$项和。 3.已知等比数列的前三项分别为$1$，$2$和$4$，则该数列的第$n$项为多少？ 4.已知等比数列的前两项分别为$\\frac{1}{6}$和$\\frac{1}{2}$，求该数列的第$n$项和。

答案

1.等比数列的通项公式为$a_n=3\imes2^{n-1}$ 2.该数列的通项公式为$a_n=5\imes2^{n-2}$，前$n$项和为$S_n=5\imes\\frac{(2^n-1)}{2-1}=5(2^n-1)$ 3.等比数列的公比为$2$，通项公式为$a_n=2^{n-3}$。 4.该等比数列的公比为$3$，通项公式为$a_n=\\frac{1}{6}\imes3^{n-2}$，前$n$项和为$S_n=\\frac{1}{6}\imes\\frac{3^n-1}{3-1}=\\frac{3^n-1}{10}$。